Jumat, 17 Desember 2010

Hukum hooke

Hukum Hooke


Hukum Hooke untuk pegas yang bergerak secara vertikal
Hukum Hooke adalah hukum atau ketentuan mengenai gaya dalam bidang ilmu fisika yang terjadi karena sifat elastisitas dari sebuah pir atau pegas. Besarnya gaya Hooke ini secara proporsional akan berbanding lurus dengan jarak pergerakan pegas dari posisi normalnya, atau lewat rumus matematis dapat digambarkan sebagai berikut:
 \mathbf{F}=-k\mathbf{x}
di mana
F adalah gaya (dalam unit newton)
k adalah konstante pegas (dalam newton per meter)
x adalah jarak pergerakan pegas dari posisi normalnya (dalam unit meter).
s = E e
E = F/A : DL/L = F L/A DL
s = tegangan = beban persatuan luas = F/A
e = regangan = pertambahan panjang/panjang mula-mula = DL/L
E = modulus elastisitas = modulus Young
L = panjang mula-mula
c = konstanta gaya
D
L = pertambahan panjang

Contoh:
1. Sebuah kawat baja (E = 2 x 1011 N/m2). Panjang 125 cm dan diameternya 0.5 cm mengalami gaya tarik 1 N.Tentukan:
a. tegangan.
b. regangan.
c. pertambahan panjang kawat.

Jawab:
a. Tegangan = F/A ; F = 1 N.
A =
p r2 = 3.14 (1/4 . 10-2)2
A = 1/(3.14 . 1/16 . 10-4) = 16 . 10-4/3.14 = 5.09 . 104 N/M2

b. Regangan = e = DL/L = (F/A)/E
= 5.09. 104/2.1011 = 2.55.10-7
c. Pertambahan panjang kawat: DL = e . L = 2.55 . 10-7 . 125 = 3.2 . 10-5 cm
s = E e
E = F/A : DL/L = F L/A DL
s = tegangan = beban persatuan luas = F/A
e = regangan = pertambahan panjang/panjang mula-mula = DL/L
E = modulus elastisitas = modulus Young
L = panjang mula-mula
c = konstanta gaya
D
L = pertambahan panjang

Contoh:
1. Sebuah kawat baja (E = 2 x 1011 N/m2). Panjang 125 cm dan diameternya 0.5 cm mengalami gaya tarik 1 N.Tentukan:
a. tegangan.
b. regangan.
c. pertambahan panjang kawat.

Jawab:
a. Tegangan = F/A ; F = 1 N.
A =
p r2 = 3.14 (1/4 . 10-2)2
A = 1/(3.14 . 1/16 . 10-4) = 16 . 10-4/3.14 = 5.09 . 104 N/M2

b. Regangan = e = DL/L = (F/A)/E
= 5.09. 104/2.1011 = 2.55.10-7
c. Pertambahan panjang kawat: DL = e . L = 2.55 . 10-7 . 125 = 3.2 . 10-5 cm


Hubungan antara Gerak Harmonik Sederhana (GHS) dan Gerak Melingkar Beraturan (GMB)

Kita telah berkenalan dengan Gerak Harmonik Sederhana pada bagian awal pokok bahasan Getaran. Pada kesempatan ini kita mencoba memahami secara lebih mendalam hubungan antara Gerak Harmonik Sederhana dengan Gerak Melingkar Beraturan. Gerak Harmonik Sederhana dan Gerak Melingkar Beraturan memiliki keterkaitan yang sederhana namun memiliki hubungan matematis yang penting. Keterkaitan ini memberikan gambaran mengenai banyak hal dalam Gerak Harmonik Sederhana. Tentu saja tidak ada yang berotasi dalam lingkaran ketika sebuah pegas berosilasi linear, tetapi kesamaan matematisnya yang kita anggap penting. Akhirnya diriku hanya bisa mengucapkan selamat belajar. Semoga sukses….. :)
Catatan :
Sebaiknya dipahami terlebih dahulu konsep Gerak Harmonik Sederhana dan Gerak Melingkar Beraturan agar dirimu lebih nyambung dengan penjelasan GuruMuda….
Persamaan Posisi Benda pada Gerak Melingkar Beraturan (GMB)
Misalnya sebuah benda bergerak dengan laju tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari A sebagaimana tampak pada gambar di bawah.
Karena benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan maka kecepatan sudutnya bernilai konstan. Hubungan antara kecepatan linear dengan kecepatan sudut dalam Gerak Melingkar Beraturan dinyatakan dengan persamaan :
Karena jari-jari (r) pada Gerak Melingkar Beraturan di atas adalah A, maka persamaan ini kita ubah menjadi :
Simpangan sudut (teta) adalah perbandingan antara jarak linear x dengan jari-jari lingkaran (r), dan dinyatakan dengan persamaan :
x adalah jarak linear, v adalah kecepatan linear dan t adalah waktu tempuh (x = vt adalah persamaan Gerak Lurus alias Gerak Linear). Sekarang kita gantikan v pada persamaan 2 dengan v pada persamaan 1 dan jari-jari r kita gantikan dengan A :
Dengan demikian, simpangan sudut benda relatif terhadap sumbu x dinyatakan dengan persamaan :
Sampai di sini dirimu sudah paham atau masih bingung-kah ? dibaca perlahan-lahan sambil dipahami ya…. jika dirimu ngerti konsep GMB, pasti penjelasan ini dengan mudah dipahami… Ok, lanjut….
Pada gambar di atas, posisi benda pada sumbu x dinyatakan dengan persamaan :
Nah, sekarang kita gantikan teta pada persamaan 4 dengan teta pada persamaan 3, sehingga persamaan 4 berubah menjadi :
Inilah persamaan posisi benda pada sumbu x yang kita peroleh melalui analisis terhadap Gerak Melingkar Beraturan.
Nah, bagaimana persamaan posisi benda pada sumbu y. Cermati gambar di bawah
Persamaan posisi benda pada sumbu y adalah :
Sebelum kita menyimpulkan hubungan antara Gerak Harmonik Sederhana dan Gerak Melingkar Beraturan, terlebih dahulu kita turunkan persamaan posisi benda pada Gerak Harmonik Sederhana.
Persamaan Posisi Benda pada Gerak Harmonik Sederhana (GHS)
Untuk benda yang berosilasi, persamaan x sebagai fungsi waktu t dapat diperoleh melalui percobaan. Misalnya kita gantungkan sebuah pegas pada arah vertikal dan pada bagian bawah pegas tersebut kita gantungkan sebuah benda. Pada benda tersebut dipasang sebuah pena dan diatur sedemikian rupa sehingga pena dapat menulis di atas secarik kertas yang dapat digerakkan tegak lurus terhadap arah pegas yang melakukan getaran. Selanjutnya benda kita simpangkan sejauh A (amplitudo alias simpangan terjauh). Ketika pegas kita lepaskan, kertas kita tarik ke kiri dengan laju tetap. Pena yang digantungkan pada pegas yang berosilasi tersebut akan menghasilkan sebuah kurva, sebagaimana tampak pada gambar di bawah.
A = amplitudo (simpangan terjauh), T = periode (waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran). Persamaan kurva tersebut adalah :
Ini adalah persamaan simpangan sebagai fungsi waktu, yang diperoleh melalui percobaan. Persamaan ini sama dengan persamaan posisi benda pada sumbu x alias persamaan simpangan x sebagai fungsi waktu yang kita peroleh pada Gerak Melingkar Beraturan.
Hubungan antara GHS dan GMB
Gerak Melingkar Beraturan dapat dipandang sebagai gabungan dua gerak harmonik sederhana yang saling tegak lurus, memiliki Amplitudo (A) dan frekuensi yang sama namun memiliki beda fase relatif phi/2. Atau kita dapat memandang Gerak Harmonik Sederhana sebagai suatu komponen Gerak Melingkar Beraturan.
Kita dapat menyimpulkan bahwa pada suatu garis lurus, proyeksi sebuah benda yang melakukan Gerak Melingkar Beraturan merupakan Gerak Harmonik Sederhana. Frekuensi dan Periode Gerak Melingkar Beraturan sama dengan Frekuensi dan Periode Gerak Harmonik Sederhana yang diproyeksikan.
Sampai di sini, mudah-mudahan dirimu dapat memahami hubungan antara Gerak Harmonik Sederhana dengan Gerak Melingkar Beraturan.

Persamaan Posisi, Kecepatan dan Percepatan pada GHS

Pada pokok bahasan mengenai hubungan antara GMB dan GHS, kita telah melihat keterkaitan antara GMB dan GHS, di mana Gerak Harmonik Sederhana dipandang sebagai suatu komponen Gerak Melingkar Beraturan atau sebaliknya, Gerak Melingkar Beraturan dapat dipandang sebagai gabungan dua gerak harmonik sederhana yang saling tegak lurus. Sekarang dengan menggunakan lingkaran acuan, mari kita selidiki persamaan yang menyatakan posisi, kecepatan dan percepatan benda bermassa yang melakukan GHS sebagai fungsi waktu.
PERSAMAAN POSISI SEBAGAI FUNGSI WAKTU PADA GHS
Kita tinjau sebuah benda yang bergerak dengan laju linear tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari A sebagaimana tampak pada gambar di bawah.
Karena benda melakukan gerak melingkar dengan kecepatan sudut omega , di mana hubungan antara kecepatan sudut omega dan besar sudut simpangan teta dinyatakan dengan persamaan :
Di mana teta dinyatakan dalam radian. (bandingkan dengan s = vt pada gerak lurus)
Kita subtitusikan nilai teta pada persamaan 2 ke dalam persamaan 1 :
Ini adalah persamaan posisi sebagai fungsi waktu
Dalam hubungan dengan frekuensi, kecepatan sudut omega dapat juga dinyatakan dengan persamaan :
Di mana f adalah frekuensi. (kita telah mempelajari hal ini pada Pokok Bahasan Besaran-besaran fisis gerak melingkar beraturan)
Nah, sekarang kita subtitusikan nilai omega ke dalam persamaan 3 :
Persamaan 3a, 3b dan 3c merupakan persamaan posisi sebagai fungsi waktu pada Gerak Harmonik Sederhana.
Grafik posisi sebagai fungsi waktu
Posisi sebagai fungsi waktu digambarkan dengan grafik di bawah ini…
Pada saat t = 0, benda berada pada simpangan sejauh +A (A alias amplitudo). Tanda positif menunjukkan bahwa benda berada pada bagian kanan atau bagian atas titik setimbang nol.
Pada saat t = ¼ T, benda berada pada posisi setimbang (A = 0).
Pada saat t = ½ T, benda berada pada simpangan sejauh -A. Tanda negatif menunjukkan bahwa benda berada pada bagian kiri titik acuan nol.
Pada saat t = ¾ T, benda kembali berada di posisi setimbang (A = 0). Jadi benda bergerak kembali dari simpangan sejauh -A menuju titik setimbang.
Pada saat t = T, benda berada lagi di timpangan sejauh +A, posisi di mana benda pertama kali mulai bergerak. Demikian deterusnya, benda bergerak bolak balik dan membentuk kurva cosinus. Posisi benda dapat kita hitung dengan persamaan
Kita menggunakan persamaan ini karena gerakan benda membentuk kurva cosinus.
Pada grafik di atas, benda mulai bergerak dari simpangan sejauh +A sehingga gerakan benda tersebut membentuk kurva cosinus. Apabila benda mulai bergerak dari posisi setimbang (A = 0), maka gerakan benda tersebut membentuk kurva sinus.
Jika benda mulai bergerak dari posisi setimbang (x = 0) sehingga membentuk kurva sinus, bagaimana dengan persamaan untuk menghitung posisi benda ?
Kita menggunakan persamaan :
Jadi jangan terpaku dengan persamaan di atas. Tergantung benda bergerak dari mana. Apabila benda mulai bergerak dari simpangan sejauh A (amplitudo) maka kita menggunakan persamaan cosinus di atas. tapi jika benda mulai bergerak dari posisi setimbang, kita menggunakan persamaan sinus…. bisa dipahami ya ? dibaca kembali secara perlahan-lahan biar dirimu memahami penjelasan GuruMuda.
Sekarang kita lanjut ke persamaan kecepatan….
PERSAMAAN KECEPATAN SEBAGAI FUNGSI WAKTU PADA GHS
Sekarang mari kita tinjau persamaan kecepatan pada GHS. Kita tetap menggunakan bantuan lingkaran acuan untuk menurunkan persamaan kecepatan sebagai fungsi waktu. Kita tinjau lagi sebuah benda yang bergerak dengan laju linear tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari A sebagaimana tampak pada gambar di bawah
v adalah laju linear benda, vx adalah proyeksi laju linear benda pada sumbu x. Kedua segitiga yang memiliki sudut teta pada gambar di atas simetris.
Pada gambar di atas, tampak bahwa besar vx = v sin teta, di mana arah vx menuju ke kiri. Karena kecepatan termasuk besaran vektor, maka kita tulis kembali persamaan vx menjadi :
Bagaimana dengan besar v ?
Karena benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan, maka kelajuan linearnya sama dengan keliling lingkaran dibagi periode. Secara matematis ditulis :
Kecepatan sebagai fungsi waktu digambarkan dengan grafik di bawah ini…
Cara membaca grafik ini sangat gampang :) Grafik di atas mengatakan bahwa pada saat t = 0, kecepatan benda = 0.
Pada saat t = ¼ T, kecepatan benda menjadi menjadi -v (kecepatan maksimum). Tanda negatif menunjukkan bahwa arah kecepatan ke kiri atau ke bawah jika kita tetapkan posisi setimbang adalah 0 pada sumbu koordinat xy. Karena kecepatan benda bernilai negatif maka bisa dipastikan benda sedang berada pada posisi setimbang. jadi dari grafik di atas tampak bahwa benda mulai bergerak dari simpangan sejauh +A dan saat ini sedang berada pada posisi setimbang (A = 0).
Pada saat t = ½ T kecepatan benda = 0. Benda sekarang berada pada simpangan sejauh -A. Ingat bahwa ketika mencapai simpangan maksimum, kecepatan benda = 0 dan sekarang benda akan berbalik arah.
Pada saat t = ¾ T, benda bergerak dengan kecepatan maksimum. Dari grafik, kita tahu bahwa kecepatan benda bernilai positif, sehingga bisa disimpulkan benda sedang bergerak ke kanan dan saat ini berada pada posisi setimbang. sekali lagi ingat bahwa ketika berada pada posisi setimbang, benda memiliki kecepatan maksimum.
Pada saat t = T, kecepatan benda = 0. nah, sekarang benda berada pada simpangan sejauh +A (benda berada di sebelah kanan posisi setimbang). sekarang benda telah melakukan satu getaran lengkap. Selanjutnya benda akan bergerak lagi ke posisi setimbang. demikian seterusnya…
Untuk menghitung kecepatan benda sepanjang kurva di atas, kita menggunakan persamaan kecepatan sebagai fungsi waktu yang telah diturunkan di atas, yakni :
Mengapa menggunakan sinus ? coba dirimu baca kembali pembahasan mengenai persamaan simpangan… GuruMuda telah menyinggung hal tersebut..
PERSAMAAN PERCEPATAN SEBAGAI FUNGSI WAKTU PADA GHS
Persamaan percepatan sebagai fungsi waktu kita turunkan dari Hukum II Newton :
Kita subtitusikan besar gaya total (sigma F) pada persamaan 2 ke dalam persamaan 1 :
Persamaan 3a dan persamaan 3b adalah persamaan percepatan sebagai fungsi waktu.
Grafik percepatan sebagai fungsi waktu
Percepatan sebagai fungsi waktu digambarkan dengan grafik di bawah ini…
Bagaimana membaca grafik ini ?
Pada saat t = 0, percepatan benda bernilai maksimum. Ingat lagi persamaan yang telah kita turunkan tadi……
Sesuai dengan grafik di atas, percepatan benda bernilai negatif. ini berarti benda sedang bergerak ke kiri atau ke bawah dan benda berada pada posisi setimbang.
Pada saat t = ¼ T, percepatan benda = 0. benda sekarang sedang berada pada simpangan sejauh -A. Pada saat berada pada simpangan maksimum, kecepatan benda bernilai nol sesaat, sehingga percepatannya juga nol. Pada posisi ini benda mulai berbalik arah menuju ke kanan.
Pada saat t = ½ T, percepatan bernilai maksimum. Tanda negatif menunjukkan bahwa arah percepatan ke kanan. Saat ini benda sedang berada di posisi setimbang…
Pada saat t = ¾ T, percepatan bernilai nol. Benda sedang berada pada simpangan sejauh +A.
Pada saat t = T, percepatan benda kembali bernilai maksimum (percepatan benda negatif). jadi benda sedang bergerak ke kiri dan saat ini sedang berada pada posisi setimbang. pada saat t = T, benda telah melakukan satu getaran lengkap…. demikian seterusnya….

Gerak melingkar

Gerak melingkar


Gerak melingkar.
Gerak Melingkar adalah gerak suatu benda yang membentuk lintasan berupa lingkaran mengelilingi suatu titik tetap. Agar suatu benda dapat bergerak melingkar ia membutuhkan adanya gaya yang selalu membelokkan-nya menuju pusat lintasan lingkaran. Gaya ini dinamakan gaya sentripetal. Suatu gerak melingkar beraturan dapat dikatakan sebagai suatu gerak dipercepat beraturan, mengingat perlu adanya suatu percepatan yang besarnya tetap dengan arah yang berubah, yang selalu mengubah arah gerak benda agar menempuh lintasan berbentuk lingkaran [1].

Besaran gerak melingkar

Besaran-besaran yang mendeskripsikan suatu gerak melingkar adalah \theta\!, \omega\! dan \alpha\! atau berturur-turut berarti sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut. Besaran-besaran ini bila dianalogikan dengan gerak linier setara dengan posisi, kecepatan dan percepatan atau dilambangkan berturut-turut dengan r\!, v\! dan a\!.
Besaran gerak lurus dan melingkar
Gerak lurus Gerak melingkar
Besaran Satuan (SI) Besaran Satuan (SI)
poisisi r\! m sudut \theta\! rad
kecepatan v\! m/s kecepatan sudut \omega\! rad/s
percepatan a\! m/s2 percepatan sudut \alpha\! rad/s2
- - perioda T\! s
- - radius R\! m

Turunan dan integral

Seperti halnya kembarannya dalam gerak linier, besaran-besaran gerak melingkar pun memiliki hubungan satu sama lain melalui proses integrasi dan diferensiasi.
\int \omega\ dt = \theta \ \ \leftrightarrow\ \ \omega = \frac{d\theta}{dt}
\int \alpha\ dt = \omega \ \ \leftrightarrow\ \ \alpha = \frac{d\omega}{dt}
\int \int \alpha\ dt^2 = \theta \ \ \leftrightarrow\ \ \alpha = \frac{d^2\theta}{dt^2}

Hubungan antar besaran sudut dan tangensial

Antara besaran gerak linier dan melingkar terdapat suatu hubungan melalui R\! khusus untuk komponen tangensial, yaitu
\theta = \frac{r_T}{R}\ \ , \ \ \omega = \frac{v_T}{R}\ \ , \ \ \alpha = \frac{a_T}{R}
Perhatikan bahwa di sini digunakan r_T\! yang didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh atau tali busur yang telah dilewati dalam suatu selang waktu dan bukan hanya posisi pada suatu saat, yaitu
r_T \approx |\overrightarrow{r}(t+\Delta t)-\overrightarrow{r}(t)|\!
untuk suatu selang waktu kecil atau sudut yang sempit.

Jenis gerak melingkar

Gerak melingkar dapat dibedakan menjadi dua jenis, atas keseragaman kecepatan sudutnya \omega\!, yaitu:
  • gerak melingkar beraturan, dan
  • gerak melingkar berubah beraturan.

Gerak melingkar beraturan

Gerak Melingkar Beraturan (GMB) adalah gerak melingkar dengan besar kecepatan sudut \omega\! tetap. Besar Kecepatan sudut diperolah dengan membagi kecepatan tangensial v_T\! dengan jari-jari lintasan R\!
\omega = \frac {v_T} R
Arah kecepatan linier v\! dalam GMB selalu menyinggung lintasan, yang berarti arahnya sama dengan arah kecepatan tangensial v_T\!. Tetapnya nilai kecepatan v_T\! akibat konsekuensi dar tetapnya nilai \omega\!. Selain itu terdapat pula percepatan radial a_R\! yang besarnya tetap dengan arah yang berubah. Percepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal, di mana arahnya selalu menunjuk ke pusat lingkaran.
a_R = \frac {v^2} R = \frac {v_T^2} R
Bila T\! adalah waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan satu putaran penuh dalam lintasan lingkaran \theta = 2\pi R\!, maka dapat pula dituliskan
v_T = \frac {2\pi R} T \!
Kinematika gerak melingkar beraturan adalah
\theta(t) = \theta_0 + \omega\ t
dengan \theta(t)\! adalah sudut yang dilalui pada suatu saat t\!, \theta_0\! adalah sudut mula-mula dan \omega\! adalah kecepatan sudut (yang tetap nilainya).

Gerak melingkar berubah beraturan

Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB) adalah gerak melingkar dengan percepatan sudut \alpha\! tetap. Dalam gerak ini terdapat percepatan tangensial a_T\! (yang dalam hal ini sama dengan percepatan linier) yang menyinggung lintasan lingkaran (berhimpit dengan arah kecepatan tangensial v_T\!).
\alpha = \frac {a_T} R
Kinematika GMBB adalah
\omega(t) = \omega_0 + \alpha\ t \!
\theta(t) = \theta_0 + \omega_0\ t  + \frac12 \alpha\ t^2 \!
\omega^2(t) = \omega_0^2 + 2 \alpha\ (\theta(t) - \theta_0) \!
dengan \alpha\! adalah percepatan sudut yang bernilai tetap dan \omega_0\! adalah kecepatan sudut mula-mula.

Persamaan parametrik

Gerak melingkar dapat pula dinyatakan dalam persamaan parametrik dengan terlebih dahulu mendefinisikan:
  • titik awal gerakan dilakukan (x_0,y_0)\!
  • kecepatan sudut putaran \omega\! (yang berarti suatu GMB)
  • pusat lingkaran (x_c,y_c)\!
untuk kemudian dibuat persamaannya [2].
Hal pertama yang harus dilakukan adalah menghitung jari-jari lintasan R\! yang diperoleh melalui:
R = \sqrt{(x_0 - x_c)^2 + (y_0 - y_c)^2} \!
Setelah diperoleh nilai jari-jari lintasan, persamaan dapat segera dituliskan, yaitu
x(t) = x_c + R cos(\omega t + \phi_x) \!
y(t) = y_c + R sin(\omega t + \phi_y) \!
dengan dua konstanta \phi_x \! dan \phi_y \! yang masih harus ditentukan nilainya. Dengan persyaratan sebelumnya, yaitu diketahuinya nilai (x_0,y_0)\!, maka dapat ditentukan nilai \phi_x \! dan \phi_y \!:
\phi_x = \arccos \left( \frac{x_0 - x_c}{R} \right)\!
\phi_y = \arcsin \left( \frac{y_0 - y_c}{R} \right)\!
Perlu diketahui bahwa sebenarnya
\phi_x = \phi_y \!
karena merupakan sudut awal gerak melingkar.

Hubungan antar besaran linier dan angular

Dengan menggunakan persamaan parametrik, telah dibatasi bahwa besaran linier yang digunakan hanyalah besaran tangensial atau hanya komponen vektor pada arah angular, yang berarti tidak ada komponen vektor dalam arah radial. Dengan batasan ini hubungan antara besaran linier (tangensial) dan angular dapat dengan mudah diturunkan.

Kecepatan tangensial dan kecepatan sudut

Kecepatan linier total dapat diperoleh melalui
v  = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
dan karena batasan implementasi persamaan parametrik pada gerak melingkar, maka
v_T  = v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
dengan
v_x  = \dot{x} = \frac{dx}{dt}
v_y  = \dot{y} = \frac{dy}{dt}
diperoleh
v_x  = -\omega R \sin(\omega t + \phi_x) \!
v_y  = \omega R \cos(\omega t + \phi_x) \!
sehingga
v_T  = \sqrt{(-\omega)^2 R^2 \sin^2(\omega t + \phi_x) + \omega^2 R^2 \cos^2(\omega t + \phi_x)}\!
v_T  = \omega R \sqrt{\sin^2(\omega t + \phi_x) + \cos^2(\omega t + \phi_x)}\!
v_T  = \omega R\!

Percepatan tangensial dan kecepatan sudut

Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, percepatan linier total dapat diperoleh melalui
a  = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}
dan karena batasan implementasi persamaan parametrik pada gerak melingkar, maka
a_T  = a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}
dengan
a_x  = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2}
a_y  = \ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2}
diperoleh
a_x  = -\omega^2 R \cos(\omega t + \phi_x) \!
a_y  = -\omega^2 R \sin(\omega t + \phi_x) \!
sehingga
a_T  = \sqrt{(-\omega)^4 R^2 \cos^2(\omega t + \phi_x) + \omega^4 R^2 \sin^2(\omega t + \phi_x)}\!
a_T  = \omega^2 R \sqrt{\cos^2(\omega t + \phi_x) + \sin^2(\omega t + \phi_x)}\!
a_T  = \omega^2 R\!

Kecepatan sudut tidak tetap

Persamaan parametric dapat pula digunakan apabila gerak melingkar merupakan GMBB, atau bukan lagi GMB dengan terdapatnya kecepatan sudut yang berubah beraturan (atau adanya percepatan sudut). Langkah-langkah yang sama dapat dilakukan, akan tetapi perlu diingat bahwa
\omega \rightarrow \omega(t) = \int \alpha dt = \omega_0 + \alpha t \!
dengan \alpha\! percepatan sudut dan \omega_0\! kecepatan sudut mula-mula. Penurunan GMBB ini akan menjadi sedikit lebih rumit dibandingkan pada kasus GMB di atas.
Persamaan parametrik di atas, dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih umum, yaitu:
x(t) = x_c + R \cos \theta \!
y(t) = y_c + R \sin \theta \!
di mana \theta = \theta(t) \! adalah sudut yang dilampaui dalam suatu kurun waktu. Seperti telah disebutkan di atas mengenai hubungan antara \theta \!, \omega \! dan \alpha \! melalui proses integrasi dan diferensiasi, maka dalam kasus GMBB hubungan-hubungan tersebut mutlak diperlukan.

Kecepatan sudut

Dengan menggunakan aturan rantai dalam melakukan diferensiasi posisi dari persamaan parametrik terhadap waktu diperoleh
v_x(t) = - R \sin \theta\ \frac{d\theta}{dt} =  - \omega(t) R \sin \theta \!
v_y(t) = R \cos \theta \ \frac{d\theta}{dt} = \omega(t) R \cos \theta \!
dengan
\frac{d\theta}{dt} = \omega(t) = \omega_0 + \alpha\ t \!
Dapat dibuktikan bahwa
v(t) = v_T(t) = \sqrt{v_x^2(t) + v_y^2(t)} = \omega(t) R \!
sama dengan kasus pada GMB.

Percepatan total

Diferensiasi lebih lanjut terhadap waktu pada kecepatan linier memberikan
a_x(t) = - R \cos \theta \ \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2  - R \sin \theta \frac{d^2\theta}{dt^2} \!
a_x(t) = - R \sin \theta \ \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2  + R \cos\theta \frac{d^2\theta}{dt^2} \!
yang dapat disederhanakan menjadi
a_x(t) = - \omega^2 R \cos \theta  - \alpha R \sin \theta \!
a_x(t) = - \omega^2 R \sin \theta  + \alpha R \cos \theta \!
Selanjutnya
a^2(t) = a_x^2(t) + a_y^2(t) = R^2\left(\omega^4(t) + \alpha^2 \right) \!
yang umumnya dituliskan [3]
a^2(t) = a_R^2(t) + a_T^2(t) \!
dengan
a_T = \alpha R \!
yang merupakan percepatan sudut, dan
a_R = \omega^2 R = a_S \!
yang merupakan percepatan sentripetal. Suku sentripetal ini muncul karena benda harus dibelokkan atau kecepatannya harus diubah sehingga bergerak mengikuti lintasan lingkaran.

Gerak berubah beraturan

Gerak melingkar dapat dipandang sebagai gerak berubah beraturan. Bedakan dengan gerak lurus berubah beraturan (GLBB). Konsep kecepatan yang berubah kadang hanya dipahami dalam perubahan besarnya, dalam gerak melingkar beraturan (GMB) besarnya kecepatan adalah tetap, akan tetapi arahnya yang berubah dengan beraturan, bandingkan dengan GLBB yang arahnya tetap akan tetapi besarnya kecepatan yang berubah beraturan.
Gerak berubah beraturan
Kecepatan GLBB GMB
Besar berubah tetap
Arah tetap berubah